Konsep Sudut dalam Lingkaran
Samuat – Sudut dalam lingkaran adalah salah satu konsep geometri yang sangat penting untuk dipahami. Lingkaran sebagai bangun datar yang tidak memiliki sisi dan sudut bisa dihitung sudutnya dengan rumus-rumus tertentu. Hal ini menjadi penting khususnya bagi para siswa dalam mempelajari matematika. Berikut adalah penjelasan mengenai konsep sudut dalam lingkaran.
Setiap lingkaran memiliki pusat, yang biasanya ditandai dengan huruf O. Sudut dalam lingkaran bisa diukur dalam satuan derajat atau dalam satuan radian, tergantung pada kondisi yang ada. Satuan derajat merupakan salah satu satuan pengukuran sudut yang sangat umum digunakan, sedangkan satuan radian adalah satuan pengukuran sudut yang lebih spesifik untuk sudut dalam lingkaran.
Sudut pusat adalah sudut yang mengukur seberapa jauh dua titik di lingkaran berada dari pusat. Besarnya sudut pusat ditentukan oleh tiga titik, yaitu pusat O, titik awal sudut, dan titik akhir sudut. Sudut ini selalu memiliki besaran 360 derajat.
Sudut keliling adalah sudut yang mengukur seberapa jauh dari titik awal ke titik akhir di sepanjang keliling lingkaran. Besarnya sudut keliling diukur dalam satuan derajat.
Sudut tumpul adalah sudut yang besarannya lebih dari 90 derajat dan kurang dari 180 derajat. Sudut ini ditemukan dalam lingkaran dengan cara mencari sudut pusat yang melampaui setengah lingkaran (180 derajat) dan membaginya menjadi dua. Sudut tumpul selalu memiliki besar sudut antara 90° dan 180 derajat.
Sudut lancip adalah sudut yang besarannya kurang dari 90 derajat. Sudut ini adalah eksak berlawanan dengan sudut tumpul dalam lingkaran. Sudut lancip ditemukan dalam lingkaran dengan cara membentuk garis horizontal dari sudut pusat atau titik di sepanjang lingkaran yang memotong oleh sudut pusat. Besarnya sudut lancip selalu memiliki besar sudut antara 0 dan 90 derajat.
Sudut pusat, sudut keliling, sudut tumpul, dan sudut lancip adalah empat jenis sudut yang umum ditemukan dalam lingkaran. Masing-masing jenis sudut memiliki rumus yang berbeda untuk menghitung besarnya sudut tersebut.
Rumus Sudut Pusat Lingkaran
Sudut pusat adalah sudut yang berada di titik pusat lingkaran dan meliputi dua buah lengkungan. Sudut pusat sangat berperan penting dalam geometri lingkaran karena biasanya menjadi acuan untuk menentukan keliling lingkaran. Rumus sudut pusat lingkaran adalah:
Sudut Pusat = 2 x Sudut Keliling / Jari-Jari Lingkaran
Di mana Sudut Keliling dalam rumus ini dapat dihitung dengan rumus lain, yaitu:
Sudut Keliling = (Keliling Lingkaran / Jari-Jari Lingkaran) x 180°
Untuk memahami rumus ini, mari kita bandingkan dengan kejadian sehari-hari. Misalkan kita ingin mengelilingi sebuah lapangan bulu tangkis. Ketika kita berjalan mengelilingi lapangan, sudut
Pertama, kita harus menentukan jari-jari lingkaran. Misalkan jari-jari lingkaran lapangan bulu tangkis tersebut adalah 5 meter. Kemudian, kita harus menghitung keliling lingkaran. Keliling lingkaran dengan jari-jari 5 meter akan diperoleh dengan rumus Keliling = 2 x 22/7 x 5 meter = 31,42857 meter.
Dari sini, kita dapat menghitung Sudut Keliling dengan memasukkan nilai Keliling dan Jari-jari lingkaran ke dalam rumus Sudut Keliling. Maka, Sudut Keliling = (31.42857 / 5) x 180° = 112.8°.
Selanjutnya, kita dapat menghitung Sudut Pusat dengan menggunakan rumus Sudut Pusat. Maka, Sudut Pusat = 2 x 112.8° / 5 = 45,12°.
Sudut Pusat sangat penting karena bisa menjadi acuan untuk menentukan sudut bantalan yang digunakan di roda mobil supaya tidak terjadi tredwear yang tidak merata pada ban kendaraan. Selain itu, rumus ini juga bisa di pakai untuk menentukan konstruksi bangunan dan juga pengaturan pencahayaan ruangan.
Dalam pembuatan roda mobil, misalkan jari-jari roda adalah 10 cm. Maka keliling dari roda tersebut sama dengan 2 x 3,14 x 10 = 62,8 cm. Misalkan sudut pusat itu 10°, maka rumus sudut pusat menjadi: 2 x 10° x (62,8 / 2 x 10) = 12,56°. Itu artinya, roda mobil harus dibuat sedemikian rupa sehingga mempunyai sudut sedemikian rupa agar tidak menimbulkan gesekan yang berlebihan pada ban mobil.
Rumus Sudut Tengah Lingkaran
Rumus Sudut Tengah Lingkaran merupakan salah satu rumus trigonometri yang berhubungan dengan segitiga dan lingkaran. Rumus ini biasa digunakan untuk menentukan sudut tengah dari sebuah lingkaran, yang merupakan sudut pusat dari suatu cincin atau lengkungan. Pengetahuan ini sangat berguna bagi para ahli geometri dan arsitektur, karena membantu dalam merancang bangunan atau struktur berbentuk lingkaran.
Sudut tengah sebuah lingkaran adalah sudut yang dibentuk oleh dua buah jari-jari atau diameter lingkaran, yang memotong lingkaran pada titik yang sama. Sudut ini juga disebut sebagai sudut pusat, karena letaknya tepat di pusat lingkaran. Sudut tengah merupakan sudut yang besarannya sama dengan separuh dari sudut lingkaran, yaitu 180 derajat. Dalam rumus sudut tengah lingkaran, terdapat unsur sinus, kosinus, dan tangen yang dihitung berdasarkan jari-jari dan sudut lingkaran.
Secara matematis, rumus sudut tengah lingkaran dapat ditulis sebagai berikut:
sin(θ/2) = (r/2R)
atau
sin(θ) = (r/R)
Yang mana:
- θ adalah sudut lingkaran dalam radian
- r adalah jari-jari lingkaran
- R adalah jarak antara pusat lingkaran dengan garis lingkaran
Pada rumus pertama, sudut tengah ( θ/2 ) terbagi dua sama rata dan memiliki sinus yang berbanding lurus dengan jari-jari lingkaran (r) dan berbanding terbalik dengan jarak antara pusat dan garis lingkaran (R). Sedangkan pada rumus kedua, sudut tengah (θ) langsung dihitung menggunakan sinus dengan relasi yang sama. Jika jarak antara pusat dan garis lingkaran (R) sama dengan jari-jari lingkaran (r), maka sudut lingkaran ( θ ) akan sama dengan 180 derajat atau 2π.
Untuk lebih jelasnya, berikut ini contoh penggunaan rumus sudut tengah lingkaran pada sebuah bangun geometri. Misalnya, kita memiliki sebuah lingkaran dengan jari-jari 10 cm dan garis lingkaran sejajar dengan salah satu sisi segitiga sama sisi ABC dengan panjang sisi 20 cm. Tentukanlah sudut pusat dari lingkaran tersebut!
1. Pertama, kita perlu menghitung jarak antara pusat lingkaran dengan garis lingkaran. Karena segitiganya sama sisi, maka kita dapat menggunakan rumus pitagoras untuk menghitung panjang median sebagai berikut:
c = (a √3) / 2 = 10√3 cm
2. Setelah mengetahui panjang median, kita dapat menghitung jarak antara garis lingkaran dengan pusat lingkaran menggunakan teorema Pythagoras, sehingga:
R = √(r2 + c2) = √(100 + 300) = 10√4 cm = 20/ √3 cm
3. Selanjutnya, kita dapat menghitung sudut pusat menggunakan rumus sudut tengah lingkaran:
sin(θ) = (r/R) = 10 / (20/√3) = (3√3) / 2
θ = sin-1[(3√3) / 2] = 60°(radian) atau 120°(derajat)
Sehingga, sudut pusat pada lingkaran tersebut adalah 120 derajat atau 2π/3 dalam radian. Rumus sudut tengah lingkaran sangat membantu dalam menyelesaikan permasalahan geometri dan trigonometri yang berhubungan dengan lingkaran, sehingga penting untuk memahaminya dengan baik.
Aplikasi Rumus Sudut Lingkaran dalam Keliling atau Luas Lingkaran
Rumus Sudut Lingkaran adalah rumus yang digunakan untuk menghitung besar sudut pada lingkaran. Sudut pada lingkaran sangat penting diketahui, khususnya untuk menghitung keliling atau luas lingkaran. Berikut adalah aplikasi rumus sudut lingkaran dalam menghitung keliling dan luas lingkaran:
1. Menghitung Keliling Lingkaran
Keliling lingkaran dapat dihitung menggunakan rumus sebagai berikut: K = 2πr atau K = πd
Keterangan:
- K = Keliling lingkaran
- r = jari-jari lingkaran
- d = diameter lingkaran
- π (pi) = konstanta yang bernilai 3,14 atau 22/7
Dalam rumus ini, sudut lingkaran juga berperan penting dalam menghitung keliling lingkaran. Jika sudut lingkaran diketahui, maka jari-jari atau diameter lingkaran dapat dicari menggunakan rumus sudut lingkaran. Contohnya, jika sudut lingkaran 60 derajat diketahui, maka besar sudut pusat (dua kali besar sudut keliling) adalah 120 derajat. Jari-jari lingkaran dapat dihitung menggunakan rumus: r = s / (2π/360)
Keterangan:
- s = panjang busur yang diukur dalam satuan derajat
Setelah jari-jari diketahui, keliling lingkaran dapat dihitung dengan mudah menggunakan rumus di atas.
2. Menghitung Luas Lingkaran
Luas lingkaran dapat dihitung menggunakan rumus sebagai berikut: L = πr2
Keterangan:
- L = Luas lingkaran
- r = jari-jari lingkaran
- π (pi) = konstanta yang bernilai 3,14 atau 22/7
Luas lingkaran juga dapat dihitung menggunakan diameter lingkaran: L = π(d/2)2
Keterangan:
- d = diameter lingkaran
Seperti pada penghitungan keliling lingkaran, sudut lingkaran juga berperan penting dalam penghitungan luas lingkaran. Jika sudut lingkaran diketahui, maka luas lingkaran dapat dicari dengan menggunakan rumus segitiga yang terbentuk antara dua jari-jari dan busur lingkaran yang membentuk sudut pusat. Rumusnya adalah: L = (θ/360)πr2
Keterangan:
- θ = sudut lingkaran dalam satuan derajat
- r = jari-jari lingkaran
- π (pi) = konstanta yang bernilai 3,14 atau 22/7
Dalam rumus ini, nilai πr2 merupakan luas lingkaran penuh, sehingga perlu dikalikan dengan perbandingan antara sudut lingkaran (θ) dan 360 derajat (luas segitiga yang terbentuk).
3. Contoh Soal
Sebuah lingkaran memiliki sudut pusat sebesar 140 derajat, hitunglah:
- a. Jari-jari lingkaran
- b. Keliling lingkaran
- c. Luas lingkaran
Penyelesaian:
Diketahui:
- Sudut pusat (θ) = 140 derajat
a. Jari-jari lingkaran dapat dihitung menggunakan rumus sudut lingkaran: r = s / (2π/360)
Dalam kasus ini, panjang busur (s) adalah satu perempat (1/4) keliling lingkaran, karena sudut pusat yang diketahui adalah 140 derajat.
Untuk menghitung keliling lingkaran, dapat menggunakan rumus: K = 2πr
Dalam kasus ini, r sudah diketahui, sehingga keliling lingkaran dapat dihitung langsung.
Luas lingkaran dapat dihitung menggunakan rumus segitiga: L = (θ/360)πr2
Jawab:
-
- a. Panjang busur: s = θ/360 x 2πr = 140/360 x 2πr = 0,39πr
Jari-jari lingkaran: r = 0,39πr / (2π/360) = 19,5
-
- b. Keliling lingkaran: K = 2πr = 2 x 3,14 x 19,5 = 122,28
-
- c. Luas lingkaran: L = (θ/360)πr2 = 140/360 x 3,14 x 19,52 = 2382
Contoh Soal tentang Rumus Sudut Lingkaran
Di Indonesia, Rumus Sudut Lingkaran merupakan salah satu konsep matematika yang diajarkan di sekolah dasar hingga menengah. Rumus ini berguna untuk menghitung berbagai macam sudut dalam lingkaran, termasuk sudut pusat, sudut keliling, dan sudut luar. Berikut beberapa contoh soal tentang rumus sudut lingkaran yang sering muncul dalam ujian atau tugas sekolah:
Contoh Soal 1
Diketahui lingkaran berjari-jari 7 cm. Tentukan besar sudut pusat lingkaran jika keliling lingkaran adalah 44 cm.
Jawaban:
Pertama-tama, kita harus mencari keliling lingkaran terlebih dahulu dengan menggunakan rumus Keliling Lingkaran = 2 x π x r. Jadi, jika r = 7 cm, maka:
Keliling Lingkaran = 2 x π x 7 = 44 cm
Selanjutnya, kita dapat menghitung besar sudut pusat dengan rumus Sudut Pusat = (360 / Keliling Lingkaran) x jari-jari. Jadi:
Sudut Pusat = (360 / 44) x 7 = 57,27 derajat
Jadi, besar sudut pusat lingkaran tersebut adalah 57,27 derajat.
Contoh Soal 2
Diketahui lingkaran dengan diameter 28 cm. Tentukan besar sudut keliling lingkaran yang meliputi busur 120 cm.
Jawaban:
Kita harus mencari jari-jari lingkaran terlebih dahulu dengan menggunakan rumus Diameter Lingkaran = 2 x r. Jadi, jika diameter = 28 cm, maka:
2 x r = 28 cm → r = 14 cm
Selanjutnya, kita dapat menghitung besar sudut keliling dengan rumus Sudut Keliling = (Sudut Pusat / 360) x Keliling Lingkaran. Jadi:
Sudut Keliling = (120 / π x 14 x 2) x 360 = 154,29 derajat
Jadi, besar sudut keliling lingkaran yang meliputi busur 120 cm adalah 154,29 derajat.
Contoh Soal 3
Diketahui dua buah lingkaran dengan jari-jari masing-masing 5 cm dan 10 cm. Jika kedua lingkaran ini bersentuhan, tentukan sudut yang dibentuk ketika garis singgung memotong kedua lingkaran tersebut.
Jawaban:
Untuk menyelesaikan masalah ini, kita harus terlebih dahulu menarik garis singgung antara kedua lingkaran. Kemudian, kita dapat mengamati bahwa garis singgung tersebut membentuk sudut segitiga seperti pada gambar di bawah ini:
Dikarenakan segitiga tersebut sama kaki, maka sudut yang diinginkan dapat dihitung dengan rumus Sudut dalam Segitiga Sama Kaki = (180 – Sudut Tumpul) / 2. Jadi:
Sudut Tumpul = 180 – (90 + 90) = 0 derajat
Sudut dalam Segitiga Sama Kaki = (180 – 0) / 2 = 90 derajat
Jadi, sudut yang dibentuk ketika garis singgung memotong kedua lingkaran tersebut adalah 90 derajat.
Contoh Soal 4
Diketahui suatu lingkaran berjari-jari 10 cm. Jika sebuah busur lingkaran diukur 45 cm, tentukan sudut luarnya.
Jawaban:
Sudut Luar dalam lingkaran dapat dihitung dengan rumus Sudut Luar = (Busur / Keliling Lingkaran) x 360. Jadi, jika r = 10 cm, maka:
Keliling Lingkaran = 2 x π x r = 2 x π x 10 = 62,83 cm
Sudut Luar = (45 / 62,83) x 360 = 259,66 derajat
Jadi, sudut luarnya adalah 259,66 derajat.
Contoh Soal 5
Diketahui sebuah lingkaran berjari-jari 7 cm dan tali busur yang meliputi sudut 120 derajat. Tentukan panjang tali busur tersebut.
Jawaban:
Untuk menyelesaikan masalah ini, kita harus terlebih dahulu mencari panjang tali busur dengan rumus Panjang Busur = (Sudut / 360) x Keliling Lingkaran. Jadi, jika r = 7 cm, maka:
Keliling Lingkaran = 2 x π x r = 2 x π x 7 = 44 cm
Panjang Busur = (120 / 360) x 44 = 14,67 cm
Jadi, panjang tali busur yang meliputi sudut 120 derajat adalah 14,67 cm.
Dari beberapa contoh soal di atas, kesimpulannya adalah Rumus Sudut Lingkaran sangat berguna dalam memecahkan berbagai masalah geometri yang berkaitan dengan lingkaran. karena itu, penting bagi siswa untuk mempelajari dengan baik konsep-konsep matematika seperti ini agar dapat menguasai dasar-dasar geometri dengan baik.