Definisi Lingkaran dalam Segitiga
Samuat – Lingkaran adalah sebuah bangun datar yang terbentuk oleh banyak titik yang sama jaraknya dengan satu titik yang disebut pusatnya. Sedangkan segitiga adalah sebuah bangun datar yang terdiri dari tiga sisi dan tiga sudut. Nah, apa jadinya jika kedua bangun datar ini digabungkan? Hasilnya adalah lingkaran dalam segitiga.
Lingkaran dalam segitiga adalah lingkaran yang memotong ketiga sisinya pada titik-titik tertentu. Dalam ilmu matematika, lingkaran dalam segitiga sangat penting karena banyak diterapkan dalam pembahasan geometri bidang. Konsep ini bermanfaat ketika akan menghitung berbagai perbandingan dan ukuran-ukuran dalam segitiga.
Untuk dapat memahami rumus lingkaran dalam segitiga, kita harus terlebih dahulu memahami istilah-istilah penting seperti titik sudut, titik tengah, dan jari-jari lingkaran.
Titik sudut adalah titik yang menyatukan kedua sisi segitiga (garis lurus). Titik tengah adalah titik yang memotong garis yang menghubungkan titik sudut dengan sisi lawannya. Jari-jari lingkaran adalah garis yang menghubungkan pusat lingkaran dengan titik di lingkaran tersebut.
Rumus lingkaran dalam segitiga menyatakan bahwa produk dari tiga sisi segitiga sama dengan keliling lingkaran yang melingkupi segitiga tersebut. Dalam rumus ini, jari-jari lingkaran dinyatakan sebagai “r”, sedangkan sisi-sisi segitiga dinyatakan dengan “a”, “b”, dan “c”.
Secara matematis, rumus lingkaran dalam segitiga dapat dituliskan sebagai berikut:
a x b x c = 4 x r x (r + t)
Di mana t adalah tinggi segitiga yang diukur dari sisi yang melintang. Tinggi ini akan membantu kita menghitung nilai jari-jari lingkaran. Dalam lingkaran dalam segitiga, tinggi ini sama dengan jari-jari lingkaran.
Selain itu, rumus ini juga dapat dituliskan dengan memanfaatkan rumus heron, yaitu rumus untuk menghitung luas segitiga menggunakan panjang sisi-sisinya. Dalam rumus heron, “s” adalah setengah dari keliling segitiga.
Rumus heron dapat dituliskan sebagai berikut:
luas = akar(s x (s-a) x (s-b) x (s-c))
Jika kita menggabungkan rumus lingkaran dalam segitiga dengan rumus heron, kita bisa mendapatkan rumus lagi yang disebut rumus oyster. Rumus oyster ini menyatakan bahwa jari-jari lingkaran dalam segitiga sama dengan hasil bagi antara luas segitiga dengan keliling segitiga.
Berikut adalah rumus oyster:
r = luas / (a + b + c)
Atau:
r = akar(s x (s-a) x (s-b) x (s-c)) / (a + b + c)
Sebagai contoh penggunaan rumus lingkaran dalam segitiga, misalkan kita memiliki segitiga ABC dengan panjang sisi 9 cm, 12 cm, dan 15 cm. Berapa jari-jari lingkaran dalam segitiga tersebut?
Pertama-tama kita harus menghitung keliling segitiga menggunakan rumus:
k = a + b + c = 9 + 12 + 15 = 36 cm
Selanjutnya, kita dapat menggunakan rumus oyster untuk menghitung jari-jari lingkaran dalam segitiga:
r = luas / k = akar(s x (s-a) x (s-b) x (s-c)) / k
Kita perlu menghitung nilai “s” terlebih dahulu menggunakan rumus heron:
s = 0,5 x k = 0,5 x 36 = 18
luas = akar(s x (s-a) x (s-b) x (s-c)) = akar(18 x 9 x 6 x 3) = 54 cm2
r = luas / k = 54 / 36 = 1,5 cm
Jadi, jari-jari lingkaran dalam segitiga ABC adalah 1,5 cm.
Rumus lingkaran dalam segitiga sangatlah bermanfaat dalam matematika, terutama dalam pembahasan geometri bidang. Dengan memahami konsep ini, kita dapat menghitung berbagai perbandingan dan ukuran-ukuran dalam segitiga dengan lebih mudah dan cepat. Semoga informasi ini bermanfaat bagi pembaca sekalian.
Rumus Panjang Diameter Lingkaran dalam Segitiga
Untuk menggunakan rumus ini, kita perlu mengetahui beberapa nilai terlebih dahulu. Pertama, nilai sisi-sisi segitiga. Kedua, nilai sudut-sudut segitiga. Ketiga, jari-jari lingkaran yang terletak dalam atau mengenai segitiga tersebut. Jika kita sudah mengetahui ketiga nilai tersebut, maka kita dapat menghitung panjang diameter lingkaran dengan rumus berikut:
Rumus 1:
D = 2 x r
Dimana D adalah panjang diameter lingkaran dan r adalah jari-jari lingkaran.
Untuk menghitung jari-jari lingkaran, kita perlu menggunakan rumus lain yaitu:
Rumus 2:
r = (a x b x c)/(4 x Luas)
Dimana a, b, dan c adalah sisi-sisi segitiga, dan Luas adalah luas segitiga yang dapat dihitung dengan rumus:
Luas = (1/2) x a x b x sin C
Dimana sin C adalah sin dari sudut C yang merupakan sudut di antara sisi a dan b.
Dengan mengetahui ketiga rumus tersebut, kita dapat menghitung panjang diameter lingkaran yang terletak dalam atau mengenai segitiga.
Contohnya, misalnya kita memiliki sebuah segitiga dengan sisi-sisi 12 cm, 16 cm, dan 20 cm. Sudut yang bersebrangan dengan sisi 12 cm adalah sudut A dan sudut yang bersebrangan dengan sisi 16 cm adalah sudut B. Selain itu, kita juga tahu bahwa segitiga tersebut memiliki lingkaran yang terletak di dalamnya.
Pertama-tama, kita dapat menghitung luas segitiga dengan rumus:
Luas = (1/2) x a x b x sin C
Luas = (1/2) x 12 cm x 16 cm x sin A
Karena kita tidak mengetahui nilai sin A, maka kita dapat menggunakan rumus sinus untuk menghitung sudut tersebut:
sin A = a/c
sin A = 12 cm/20 cm
sin A = 0,6
Dengan mengetahui nilai sin A, kita dapat menghitung luas segitiga dengan rumus:
Luas = (1/2) x a x b x sin C
Luas = (1/2) x 12 cm x 16 cm x 0,6
Luas = 57,6 cm²
Selanjutnya, kita dapat menghitung jari-jari lingkaran dengan rumus:
r = (a x b x c)/(4 x Luas)
r = (12 cm x 16 cm x 20 cm)/(4 x 57,6 cm²)
r = 5 cm
Dengan mengetahui nilai jari-jari lingkaran, kita dapat menghitung panjang diameter lingkaran dengan rumus:
D = 2 x r
D = 2 x 5 cm
D = 10 cm
Dengan demikian, panjang diameter lingkaran yang terletak dalam atau mengenai segitiga tersebut adalah 10 cm.
Cara Menentukan Lokasi Lingkaran dalam Segitiga
Cara menentukan lokasi lingkaran dalam segitiga merupakan hal yang perlu diketahui oleh setiap pelajar, terutama bagi mereka yang belajar tentang matematika pada level SMA. Berikut penjelasan lebih lanjut mengenai cara menentukan lokasi lingkaran dalam segitiga.
Menentukan jari-jari lingkaran dalam segitiga
Setelah mengetahui titik pusat lingkaran, langkah selanjutnya adalah menentukan jari-jari lingkaran. Jari-jari dari lingkaran dalam segitiga sendiri dikenal sebagai in-radius. Untuk menentukan in-radius, gunakanlah rumus:
In-radius = Luas Segitiga / Semua Sisi Segitiga
Jadi, caranya yaitu menghitung terlebih dahulu luas segitiga yang terdapat di dalam lingkaran inscribed tersebut. Luas segitiga dapat dihitung dengan rumus :
1/2 x alas x tinggi Segitiga
Jika sudah diketahui luas segitiga, selanjutnya carilah jumlah semua sisi segitiga. Jumlah sisi segitiga dapat dicari dengan menjumlahkan semua sisi segitiga. Setelah menemukan jumlah sisi segitiga, gunakan rumus di atas untuk menentukan in-radius.
Persamaan Lingkaran dalam Segitiga yang Sama Sisi
Persamaan lingkaran dalam segitiga sama sisi dapat dijelaskan dengan mudah. Lingkaran dalam segitiga sama sisi memiliki sifat bahwa jari-jari lingkaran sama dengan setengah dari tinggi segitiga sama sisi. Dalam segitiga sama sisi, tinggi sama dengan setengah sisi dikali dengan akar tiga. Oleh karena itu, persamaan lingkaran dalam segitiga sama sisi dapat dihitung dengan menggunakan rumus berikut:
r = s / (2 * √3)
Di mana r adalah jari-jari lingkaran dan s adalah panjang sisi segitiga sama sisi. Jika diketahui nilai sisi segitiga sama sisi, maka jari-jari lingkaran dapat dihitung dan sebaliknya.
Secara visual, persamaan lingkaran dalam segitiga sama sisi dapat dilihat melalui gambar sebagai berikut:
Dalam gambar di atas, AB, BC, dan CA adalah sisi-sisi dari segitiga sama sisi. Lingkaran dalam segitiga sama sisi adalah lingkaran yang memiliki pusat O dan jari-jari r. Lingkaran tersebut menyentuh sisi AB, AC, dan BC pada titik-titik D, E, dan F masing-masing.
Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, persamaan lingkaran dalam segitiga sama sisi dapat ditemukan menggunakan rumus r = s / (2 * √3). Mari kita lihat contoh di bawah ini untuk lebih memahaminya:
Contoh Soal:
Dalam sebuah segitiga sama sisi, jarak dari pusat lingkaran ke titik-titik di mana lingkaran tersebut menyentuh sisi adalah 3 cm. Hitunglah panjang sisi dari segitiga tersebut.
Penyelesaian:
Dalam permasalahan ini, kita diberikan jari-jari lingkaran. Rumus yang diberikan adalah r = s / (2 * √3). Kita hanya perlu mengalikan kedua sisi dari rumus tersebut dengan 2 √3 untuk mendapatkan nilai s.
r = s / (2 * √3)
s = 2 * √3 * r
s = 2 * √3 * 3
s = 6√3
Dengan demikian, sisi dari segitiga sama sisi tersebut adalah 6√3 cm.
Contoh Soal Penggunaan Rumus Lingkaran dalam Segitiga
Rumus lingkaran dalam segitiga menjadi pengetahuan yang penting untuk dipelajari oleh siswa di Indonesia. Pemahaman tentang rumus ini akan membantu mereka dalam menyelesaikan berbagai soal matematika yang kompleks. Berikut ini adalah beberapa contoh soal penggunaan rumus lingkaran dalam segitiga:
Contoh Soal 1
Diketahui sebuah segitiga ABC dengan panjang sisi AB= 8 cm, AC= 6 cm, dan BC= 10 cm. Tentukanlah jari-jari lingkaran yang dapat dilalui oleh segitiga ini.
Penyelesaian:
Pertama-tama, kita perlu mencari dulu keliling segitiga ABC dengan menggunakan rumus keliling segitiga yaitu k = AB + AC + BC. Dengan substitusi, maka kita mendapatkan:
k = 8 + 6 + 10 = 24 cm
Selanjutnya, kita dapat menggunakan rumus luas segitiga untuk mencari luas segitiga ABC. Rumus luas segitiga adalah L = ½ x alas x tinggi. Kita tidak tahu nilai dari tinggi, namun kita dapat mencari nilai dari sudut A dengan menggunakan hukum kosinus. Dalam segitiga ABC, sudut yang terletak di sisi AB adalah sudut C. Oleh karena itu, kita bisa menggunakan rumus cosinus sudut C untuk mencari nilai cosinus dari sudut A.
Dengan substitusi, maka kita dapatkan:
cos C = (AB² + AC² – BC²) / 2 x AB x AC
cos C = (8² + 6² – 10²) / 2 x 8 x 6 = 0,75
Maka, sudut A = sin⁻¹ (√(1-0,75²)) = 48,59°
Setelah itu, kita dapat menggunakan rumus luas segitiga untuk mencari luas segitiga ABC:
L = ½ x AB x AC x sin A
L = ½ x 8 x 6 x sin 48,59° = 14,7 cm²
Setelah mengetahui luas segitiga ABC, kita dapat mencari jari-jari lingkaran yang dapat dilalui oleh segitiga ini dengan menggunakan rumus jari-jari lingkaran. Rumus jari-jari lingkaran adalah r = L / (s – k), dengan s adalah setengah keliling segitiga. Dalam kasus ini, kita dapatkan:
s = k / 2 = 12 cm
r = 14,7 / (12 – 24) = -14,7 cm
Karena jari-jari lingkaran tidak bisa memiliki nilai negatif, maka jawaban yang benar adalah tidak ada jari-jari lingkaran yang dapat dilalui oleh segitiga ABC.
Contoh Soal 2
Diketahui sebuah segitiga ABC dengan panjang sisi AB= 12 cm, AC= 8 cm, dan BC= 10 cm. Tentukanlah jari-jari lingkaran yang dapat dilalui oleh segitiga ini.
Penyelesaian:
Pertama-tama, kita perlu mencari dulu keliling segitiga ABC dengan menggunakan rumus keliling segitiga yaitu k = AB + AC + BC. Dengan substitusi, maka kita mendapatkan:
k = 12 + 8 + 10 = 30 cm
Selanjutnya, kita dapat menggunakan rumus luas segitiga untuk mencari luas segitiga ABC:
L = ½ x AB x AC x sin A
Untuk mencari nilai dari sin A, kita dapat menggunakan hukum kosinus untuk mencari nilai cosinus dari sudut A.
cos A = (BC² + AC² – AB²) / 2 x BC x AC
cos A = (10² + 8² – 12²) / 2 x 10 x 8 = 0,625
Maka, sudut A = sin⁻¹ (√(1-0,625²)) = 48,19°
Dengan substitusi, maka kita dapatkan:
L = ½ x 12 x 8 x sin 48,19° = 44,2 cm²
Setelah mengetahui luas segitiga ABC, kita dapat mencari jari-jari lingkaran yang dapat dilalui oleh segitiga ini dengan menggunakan rumus jari-jari lingkaran. Rumus jari-jari lingkaran adalah r = L / (s – k), dengan s adalah setengah keliling segitiga. Dalam kasus ini, kita dapatkan:
s = k / 2 = 15 cm
r = 44,2 / (15 – 30) = -2,9467 cm
Seperti pada contoh soal sebelumnya, jawaban yang benar adalah tidak ada jari-jari lingkaran yang dapat dilalui oleh segitiga ABC karena jari-jari lingkaran tidak bisa memiliki nilai negatif.